Lihat sumber Persamaan Schrödinger

{{mekanika kuantum|cTopic=persamaan}}
Dalam [[mekanika kuantum]], '''persamaan Schrödinger''' adalah [[persamaan matematika]] yang menjelaskan perubahan tiap waktu dari sebuah sistem fisika dimana efek kuantum, seperti [[dualitas gelombang-partikel]], menjadi signifikan. Persamaan ini merupakan perumusan matematis untuk mempelajari sistem mekanika kuantum. Persamaan ini diajukan oleh [[fisikawan]] [[Erwin Schrödinger]] pada tahun [[1925]] dan mempublikasikannya pada tahun 1926. [[Erwin Schrödinger]] sendiri memperoleh [[Nobel Fisika|Hadiah Nobel Fisika]] pada tahun 1933 berkat karyanya ini.<ref>{{cite news|url=https://www.theguardian.com/technology/2013/aug/12/erwin-schrodinger-google-doodle|title=Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work|date=13 August 2013|newspaper=[[The Guardian]]|accessdate=25 August 2013}}</ref><ref name="sch">{{cite journal|last=Schrödinger|first=E.|year=1926|title=An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules|url=http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|journal=[[Physical Review]]|volume=28|issue=6|pages=1049–1070|bibcode=1926PhRv...28.1049S|doi=10.1103/PhysRev.28.1049|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|archivedate=17 December 2008}}</ref> Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial dengan tipe [[persamaan gelombang]], yang digunakan sebagai model matematika dari pergerakan gelombang.

Dalam [[mekanika klasik]], [[Hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]] ({{math|'''F''' {{=}} ''m'''''a'''}}) digunakan untuk membuat prediksi matematika dimana jalur sebuah sistem akan mengikuti sejumlah kondisi awal yang diketahui. Dalam mekanika kuantum, analogi dari hukum Newton adalah persamaan Schrödinger untuk sistem kuantum (biasanya atom, molekul, dan partikel subatomik yang bebas, terikat, maupun terlokalisasi). Persamaan ini bukan persamaan aljabar, melainkan secara umum adalah [[persamaan diferensial parsial linear]], menjelaskan perubahan waktu dari [[fungsi gelombang]] sistem (juga disebut "fungsi keadaan").<ref name="Griffiths2004">{{citation|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.)|year=2004|author=Griffiths, David J.|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-111892-7}}</ref>{{rp|1–2}}

Konsep fungsi gelombang adalah dasar bagi [[postulat mekanika kuantum]]. Menggunakan postulat ini, persamaan Schrödinger dapat diturunkan berdasarkan fakta bahwa operator perubahan waktu haruslah kesatuan dan oleh karena itu harus dihasilkan oleh eksponensial dari sebuah operator ''self-adjoint'', dimana itu adalah Hamiltonian kuantum.

Dalam [[interpretasi Kopenhagen]] mekanika kuantum, fungsi gelombang adalah penjelasan paling lengkap untuk berbagai sistem fisik. Penyelesaian persamaan Schrödinger tidak hanya dapat menjelaskan sistem [[molekul]]ar, [[atom]]ik, dan [[Partikel subatom|subatomik]], tapi juga [[sistem makroskopik]], mungkin juga seluruh [[alam semesta]].<ref name="Laloe">{{citation|last=Laloe|first=Franck|title=Do We Really Understand Quantum Mechanics|year=2012|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-02501-1}}</ref>{{rp|292ff}} Persamaan Schrödinger adalah rumusan inti bagi semua aplikasi mekanika kuantum termasuk [[teori medan kuantum]] yang menggabungkan [[relativitas khusus]] dengan mekanika kuantum. Teori [[gravitasi kuantum]], seperti [[teori dawai]], juga dapat diselesaikan dengan persamaan Schrödinger.

Persamaan Schrödinger bukanlah satu-satunya cara untuk mempelajari sistem mekanika kuantum dan membuat prediksi, karena formulasi mekanika kuantum lainnya seperti [[mekanika matriks]] yang dikenalkan oleh [[Werner Heisenberg]], dan [[formulasi integral lintasan]], dikembangkan oleh [[Richard Feynman]]. [[Paul A.M. Dirac|Paul Dirac]] menggabungkan mekanika matriks dan persamaan Schrödinger menjadi satu formulasi tunggal.

Dengan menggunakan [[notasi bra-ket]] [[Paul Dirac|Dirac]], definisi persamaan Schrödinger adalah:

:<math>H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle = \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle</math>

<math>\mathrm{i}</math> adalah [[bilangan imaginer]], <math>t</math> adalah [[waktu]], ∂ / ∂<math>t</math> adalah [[turunan parsial]] terhadap <math>t</math>, ħ adalah [[konstanta Planck]] dibagi 2π, ψ(<math>t</math>) adalah [[fungsi gelombang]], dan H(<math>t</math>) adalah [[Hamiltonian]].

== Persamaan ==

=== Persamaan tergantung-waktu ===
Bentuk persamaan Schrödinger tergantung dari kondisi fisiknya (lihat dibawah untuk contoh-contoh khusus). Bentuk paling umumnya adalah [[Persamaan Schrödinger#Tergantung waktu|persamaan tergantung-waktu]] yang menjelaskan sebuah sistem berkembang dengan waktu:<ref name=Shankar1994>
{{cite book
 |last=Shankar |first=R.
 |year=1994
 |title=Principles of Quantum Mechanics
 |edition=2nd
 |publisher=[[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
 |isbn=978-0-306-44790-7
}}</ref>{{rp|143}}
[[Berkas:Wave packet (dispersion).gif|jmpl|200px|Sebuah [[fungsi gelombang]] yang memenuhi persamaan Schrodinger nonrelativistik dengan {{math|''V'' {{=}} 0}}. Dengan kata lain, fungsi ini sesuai dengan partikel yang bergerak bebas melalui ruang kosong. [[Bagian riil]] dari [[fungsi gelombang]] digambarkan disini.]]
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tergantung-waktu''' ''(umum)''
|equation=<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\vert\Psi(\mathbf{r},t)\rangle = \hat H\vert\Psi(\mathbf{r},t)\rangle</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

dengan {{math|''i''}} adalah [[satuan imajiner]], {{math|''ħ''}} adalah [[konstanta Planck]] tereduksi yang sama dengan:<math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math>, lambang {{math|{{sfrac|∂|∂''t''}}}} menunjukkan [[turunan parsial]] terhadap [[waktu]] {{math|''t''}}, {{math|''Ψ''}} (huruf Yunani [[psi (huruf)|psi]]) adalah [[fungsi gelombang]] sistem kuantum, {{math|'''r'''}} dan {{math|''t''}} adalah posisi vektor dan waktu, dan {{math|''Ĥ''}} adalah [[operator (fisika)|operator]] [[Hamiltonian (mekanika kuantum)|Hamiltonian]] (yang mengkarakterisasi total energi sistem).

[[Berkas:StationaryStatesAnimation.gif|300px|jmpl|ka|Setiap gambar merupakan fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schrödinger tak tergantung waktu untuk [[osilator harmonis kuantum|osilator harmonis]]. Kiri: bagian riil (biru) dan bagian imajiner (kanan) dari fungsi gelombang. Kanan: [[distribusi probabilitas]] dalam menemukan partikel dengan fungsi gelombang ini pada posisi tertentu. Kedua baris teratas adalah contoh '''[[keadaan stasioner]]'''. Baris bawah adalah contoh keadaan ''non'' stasioner. Kolom sebelah kanan menunjukkan mengapa keadaan stasioner disebut "stasioner".]]
Contoh paling umum adalah persamaan [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] untuk partikel tunggal yang bergerak dalam sebuah [[medan listrik]] (bukan [[medan magnet]]; lihat [[Persamaan Pauli]]):<ref>[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html "Schrodinger equation"]. ''hyperphysics.phy-astr.gsu.edu''.</ref>

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tergantung waktu dalam basis posisi'''<br/>''(partikel [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] tunggal)''
|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

dimana {{math|''μ''}} adalah "[[massa tereduksi]]" partikel, {{math|''V''}} [[energi potensial]], {{math|∇<sup>2</sup>}} adalah [[Laplasian]] (operator diferensial), dan {{math|''Ψ''}} adalah fungsi gelombang (lebih tepatnya dalam konteks ini adalah "fungsi gelombang ruang-posisi"). Dalam bahasa sederhana, persamaan ini berarti "total [[energi]] sama dengan [[energi kinetik]] ditambah [[energi potensial]]", tetapi dengan bentuk yang tidak umum.

Dengan diketahui operator diferensial tertentu, maka persamaan ini adalah [[persamaan diferensial parsial]] [[persamaan diferensial linear|linear]]. Juga merupakan [[persamaan difusi]], tetapi tidak seperti [[persamaan panas]], persamaan ini juga persamaan gelombang karena adanya [[satuan imajiner]] pada bagian transient.

Istilah ''"Persamaan Schrödinger"'' dapat merujuk ke kedua persamaan umum atau versi nonrelativistiknya yang spesifik. Versi umumnya sangat umum dan bisa digunakan untuk semua mekanika kuantum, mulai dari [[persamaan Dirac]] hingga [[teori medan kuantum]], dengan memasukkan berbagai pernyataan pada Hamiltonian. Versi nonrelativistik adalah berupa perkiraan dari kenyataan sebenarnya namun menunjukkan hasil yang akurat pada banyak situasi, tetapi pada jangkauan tertentu saja (lihat [[mekanika kuantum relativistik]] dan [[teori medan kuantum relativistik]]).

Untuk menggunakan persamaan Schrödinger, digunakan operator Hamiltonian untuk sistemnya untuk menghitung energi kinetik dan potensial partikel-partikel pada sistem, kemudian dimasukkan dalam persamaan Schrödinger. Hasil persamaan diferensial parsial kemudian diselesaikan untuk persamaan gelombang yang kemudian akan memuat informasi mengenai sistem.

=== {{anchor|Time independent equation}}Persamaan tak tergantung-waktu ===
Persamaan Schrödinger tergantung-waktu yang dijelaskan diatas memprediksi bahwa fungsi gelombang dapat membentuk [[gelombang berdiri]] disebut [[keadaan stasioner]] (atau "orbital", seperti [[orbital atom]] atau [[orbital molekul]]). Keadaan-keadaan ini penting karena pada studi berikutnya, memudahkan dalam penyelesaian persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu untuk keadaan apapun. Keadaan stasioner juga dapat dijelaskan menggunakan bentuk persamaan yang lebih sederhana, ''persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''.

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''' (''umum'')
|equation=<math>\operatorname{\hat H}\vert\Psi\rangle=E\vert\Psi\rangle</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

dengan ''{{math|E}}'' adalah konstanta sama dengan total energi pada sistem. Hanya digunakan apabila operator [[Hamiltonian (mekanika kuantum)|Hamiltonian]] tidak tergantung waktu. Namun, dalam kasus ini keseluruhan fungsi gelombang tetap memiliki ketergantungan waktu.

Dengan kata lain, persamaan ini mengatakan:
::''Ketika operator Hamiltonian berperan pada fungsi gelombang tertentu {{math|Ψ}} dan hasilnya sebanding dengan fungsi gelombang yang sama {{math|Ψ}}, maka {{math|Ψ}} adalah [[keadaan stasioner]], dan konstanta proporsionalitas {{math|E}} adalah energi dari keadaan {{math|Ψ}}.''
Dalam terminologi [[aljabar linear]], persamaan ini adalah [[Eigenvalue dan eigenvector|persamaan eigenvalue]] dan fungsi gelombang disini merupakan [[eigenfunction]] dari operator Hamiltonian.

Seperti sebelumnya, bentuk paling umum adalah persamaan [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] untuk partikel tunggal yang bergerak dalam sebuah medan listrik (bukan medan magnet):

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''' (''partikel tunggal nonrelativistik'')
|equation=<math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}) = E \Psi(\mathbf{r})</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

dengan definisi seperti diatas.

Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu dijelaskan lebih lanjut [[#Tak tergantung waktu|dibawah]].

== Latar belakang dan perkembangan sejarah ==
[[Berkas:Erwin Schrodinger2.jpg|ka|jmpl|[[Erwin Schrödinger]]]]
{{Main article|Justifikasi teoritis dan percobaan untuk persamaan Schrödinger}}

Setelah kemunculan kuantisasi cahaya [[Max Planck]] (lihat [[radiasi benda-hitam]]), [[Albert Einstein]] menginterpretasikan [[kuantum|kuanta]] Planck sebagai [[foton]], [[corpuscular theory of light|partikel cahaya]], dan mengemukakan bahwa [[hubungan Planck|energi sebuah foton berbanding lurus dengan frekuensinya]], salah satu tanda-tanda pertama [[dualitas gelombang-partikel]]. Karena energi dan [[momentum]] saling berhubungan seperti [[frekuensi]] dan [[bilangan gelombang]] pada [[relativitas khusus]], momentum sebuah foton {{math|''p''}} berbanding terbalik dengan [[panjang gelombang]] {{math|''λ''}}, atau berbanding lurus dengan [[bilangan gelombang]] {{math|''k''}}:

:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k,</math>

dengan {{math|''h''}} adalah [[konstanta Planck]] dan {{math|''ħ''}} adalah konstanta Planck tereduksi, {{math|''h/2π''}}. [[Louis de Broglie]] mengemukakan hipotesis bahwa persamaan ini benar untuk semua partikel, meski partikel yang bermassa seperti elektron. Ia mengasumsikan jika gelombang materi merambat bersama partikel mereka, elektron-elektron membentuk [[gelombang berdiri]], berarti hanya frekuensi rotasional tertentu di sekeliling atom nukleus yang dimungkinkan.<ref>
{{Cite journal
 |last        = de Broglie
 |first       = L.
 |year        = 1925
 |title       = Recherches sur la théorie des quanta
 |trans-title = On the Theory of Quanta
 |url         = http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/70/78/PDF/tel-00006807.pdf
 |journal     = [[Annales de Physique]]
 |volume      = 10
 |issue       = 3
 |pages       = 22–128
 |doi         = 
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20090509012910/http://www.ensmp.fr/aflb/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf
 |archivedate = 9 May 2009
 |df          = dmy-all
}} .</ref>
Orbit terkuantisasi ini sesuai dengan [[tingkat energi]] diskret, dan de Broglie memakai formula [[model Bohr]] untuk tingkat energi. Model Bohr didasarkan pada kuantisasi momentum sudut {{math|''L''}} yang diasumsikan menurut:
:<math> L = n{h \over 2\pi} = n\hbar.</math>
Menurut de Broglie, elektron dijelaskan melalui sebuah gelombang dan sejumlah bilangan panjang gelombang yang harus sesuai sepanjang keliling orbit elektron:

:<math>n \lambda = 2 \pi r.\,</math>

Pendekatan ini membatasi gelombang elektron dalam satu dimensi, sepanjang orbit lingkar berjari-jari {{math|''r''}}.

Pada tahun 1921, sebelum de Broglie, Arthur C. Lunn di Universitas Chicago telah menggunakan argumen yang sama yang berbasis dari penyelesaian energi-momentum relativistik untuk menurunkan apa yang kita sebtut saat ini sebagai hubungan de Broglie.<ref>{{cite journal|last=Weissman|first=M.B. |author2=V. V. Iliev |author3=I. Gutman|title=A pioneer remembered: biographical notes about Arthur Constant Lunn|journal=Communications in Mathematical and in Computer Chemistry|year=2008|volume=59|issue=3|pages=687–708}}</ref> Tidak seperti de Broglie, Lunn merumuskan persamaan diferensial yang saat ini dikenal sebagai persamaan Schrödinger. Sayangnya paper ini ditolak oleh Physical Review.<ref>{{cite book|last=Kamen|first=Martin D.|title=Radiant Science, Dark Politics|year=1985|publisher=University of California Press|location=Berkeley and Los Angeles, CA|isbn=0-520-04929-2|pages=29–32}}</ref>

Menindaklanjuti ide de Broglie, fisikawan [[Peter Debye]] berkomentar bahwa jika partikel berperilaku seperti gelombang, maka pastinya memiliki bentuk persamaan gelombang. Schrödinger pun berusaha mencari persamaan gelombang 3-dimensi yang layak untuk elektron. Ia dibimbing oleh analogi [[William Rowan Hamilton|William R. Hamilton]] antara [[mekanika]] dan [[optik]], encoded in the observation that the zero-wavelength limit of optics resembles a mechanical system—the trajectories of [[light rays]] become sharp tracks that obey [[Fermat's principle]], an analog of the [[principle of least action]].<ref>
{{Cite book
 |last=Schrodinger |first=E.
 |year=1984
 |title=Collected papers
 |publisher=[[Friedrich Vieweg und Sohn]]
 |isbn=3-7001-0573-8
}} Lihat bagian pengenalan pada paper tahun 1926. </ref>

== Referensi ==
<references />

== Pranala luar ==

* {{en}} [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde108.pdf Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations].
* {{en}} [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1403.pdf Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations].
* {{en}} [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf The Schrödinger Equation in One Dimension].
* {{en}} [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html All about 3D schrodinger Equation ]
* {{en}} [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki].
{{fisika-stub}}

[[Kategori:Mekanika kuantum|Schrödinger]]
[[Kategori:Persamaan diferensial parsial|Schrödinger]]
[[Kategori:Persamaan diferensial|Schrödinger]]
[[Kategori:Persamaan matematika|Schrödinger]]
[[Kategori:Persamaan mekanika kuantum|Schrödinger]]
[[Kategori:Persamaan fisika|Schrödinger]]
[[Kategori:Persamaan|Schrödinger]]