Lihat sumber Persamaan diferensial homogen

'''Persamaan diferensial homogen''' dapat memiliki dua artian.

== Persamaan diferensial orde pertama yang homogen ==
[[Persamaan diferensial biasa]] orde pertama dalam bentuk:

:<math>M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 </math>

dapat dianggap homogen jika fungsi ''M''(''x, y'') dan ''N''(''x, y'') adalah [[fungsi homogen]] dengan tingkat yang sama, ''n''.<ref>{{harvnb|Ince|1956|p=18}}</ref> Dalam kata lain, jika setiap variabel dikalikan dengan parameter &nbsp;<math>\lambda</math>, dapat diperoleh

:<math>M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n M(x,y)\,</math> <span style="font-size: 1.2em;"> &nbsp; &nbsp; and &nbsp; &nbsp; </span> <math> N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n N(x,y)\,.</math>

sehingga:
:<math>\frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N(\lambda x, \lambda y)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}\,.</math>

=== Solusi ===
Dalam hasil bagi &nbsp; <math>\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}</math>,
jika diasumsikan &nbsp; <math>t = 1/x</math> &nbsp; untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi <math>f</math> dengan satu variabel <math>y/x</math>:

:<math>\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x)\,.</math>

Kemudian dilakukan perubahan variabel <math>y=ux</math>; lalu diturunkan dengan [[aturan produk]]:

:<math>\frac{d(ux)}{dx} = x\frac{du}{dx} + u\frac{dx}{dx} = x\frac{du}{dx} + u,</math>

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang [[pemisahan variabel|dapat dipisahkan]]
: <math>x\frac{du}{dx} = f(u) - u\,; </math>
Persamaan ini kini dapat di[[integral]]kan secara langsung.

=== Kasus khusus ===
Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (''a'', ''b'', ''c'', ''e'', ''f'', ''g'' semuanya konstanta)
:<math> (ax + by + c) dx + (ex + fy + g) dy = 0\, </math>
dengan ''af'' ≠ ''be''
dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel (<math>\alpha</math> dan <math>\beta</math> adalah konstanta):
:<math>t = x + \alpha; \,\,\,\, z = y + \beta \,.</math>

== Persamaan diferensial linear homogen ==
[[Persamaan diferensial linear]] dapat dikatakan homogen jika memenuhi kondisi berikut:
: <math> Ly=0 \,</math>
''L'' adalah [[operator diferensial]] dan ''y'' adalah fungsi yang tidak diketahui.
=== Contoh ===

<math> ay''(x) + by'(x) +cy(x)= 0 </math> adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

<math> a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0 </math> adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama

== Referensi ==
{{reflist}}
* {{citation | last1=Boyce | first1=William E. | last2=DiPrima | first2=Richard C. | title = Elementary differential equations and boundary value problems | year=2012 | publisher=Wiley | isbn=978-0470458310 | edition=10th}}. (This is a good introductory reference on differential equations.)
* {{citation | last1=Ince | first1=E. L. | title=Ordinary differential equations | url=https://archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp | year=1956 | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=0486603490}}. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)

[[Kategori:Persamaan diferensial]]