Lihat sumber Transformasi Laplace

'''Transformasi Laplace''' adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

Dalam [[matematika]] jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari [[analisis fungsional]], yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti [[rangkaian elektronik]], [[osilator harmonik]], [[devais optik]] dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari [[masukan]] atau [[keluaran]] suatu [[sistem]], transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.

Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.

Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang [[fisika]], [[optik]], [[rekayasa listrik]], [[rekayasa kendali]], [[pemrosesan sinyal]] dan [[teori kemungkinan]].

Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, [[Pierre-Simon Laplace]], yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh [[Leonhard Euler]], seorang ahli matematika ''prolific'' [[Swiss]] abad kedelapanbelas.

== Definisi formal ==
Transformasi Laplace dari suatu [[fungsi]] ''f''(''t''), yang terdefinisi untuk semua nilai ''t'' [[riil]] dengan ''t'' ≥ 0, adalah fungsi ''F''(''s''), yang didefinisikan sebagai:

: <math>F(s)  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}  =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.</math>

Limit bawah <math>0^-</math> adalah kependekan dari <font style="vertical-align:-20%;"> <math> \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon \ </math> </font> dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi [[delta Dirac]] <math> \delta (t) \ </math> pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam ''f''(''t'') pada 0.

Secara umum parameter ''s'' bernilai [[bilangan kompleks|kompleks]]:

:<math>s = \sigma + i \omega \, </math>

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya ''s'' (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.

'''Tabel''' berikut ini adalah daftar transformasi Laplace:<ref>{{harvnb|Korn|Korn|1967|pp=226–227}}</ref>

{| class="wikitable"
|+ Karakteristik transformasi Laplace
|-
 !
 ! Domain waktu
 ! Domain {{math|''s''}}
 ! Keterangan
|-
 ! [[Linearitas]]
 | <math> a f(t) + b g(t) \ </math>
 | <math> a F(s) + b G(s) \ </math>
 | Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana.
|-
 ! Turunan domain-frekuensi
 | <math> t f(t) \ </math>
 | <math> -F'(s) \ </math>
 | {{math|''F''′}} adalah [[turunan]] pertama dari {{math|''F''}}.
|-
 ! Turunan umum domain-frekuensi
 | <math> t^{n} f(t) \ </math>
 | <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math>
 | Bentuk yang lebih umum, turunan ke-{{math|''n''}} dari {{math|''F''(''s'')}}.
|-
 ! [[Turunan]]
 | <math> f'(t) \ </math>
 | <math> s F(s) - f(0) \ </math>
 | {{math|''f''}} diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi, dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial. Lalu didapatkan melalui [[integral parsial]]
|-
 ! Turunan kedua
 | <math> f''(t) \ </math>
 | <math> s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ </math>
 | {{math|''f''}} diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial. Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke {{math|''f''′(''t'')}}.
|-
 ! Turunan secara umum
 | <math> f^{(n)}(t)  \ </math>
 | <math> s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{n-k} f^{(k-1)}(0) \ </math>
 | {{math|''f''}} diasumsikan diturunkan ke-{{math|''n''}} kali, dengan turunan ke-{{math|''n''}} adalah eksponensial. Dilanjutkan dengan [[induksi matematika]].
|-
 ! [[Frekuensi|Integrasi domain-frekuensi]]
 | <math> \frac{1}{t}f(t)  \ </math>
 | <math> \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ </math>
 | 
|-
 ! [[Integral|Integrasi]] domain-waktu
 | <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)</math>
 | <math> {1 \over s} F(s) </math>
 | {{math|''u''(''t'')}} adalah [[fungsi step Heaviside]]. Catat bahwa {{math|(''u'' ∗ ''f'')(''t'')}} adalah [[konvolusi]] dari {{math|''u''(''t'')}} dan {{math|''f''(''t'')}}.
|-
 ! Frequency shifting
 | <math> e^{at} f(t)  \ </math>
 | <math> F(s - a) \ </math>
 |
|-
 ! Time shifting
 | <math> f(t - a) u(t - a) \ </math>
 | <math> e^{-as} F(s) \ </math>
 | {{math|''u''(''t'')}} adalah [[fungsi step Heaviside]]
|-
 ! Time scaling
 | <math>f(at)</math>
 | <math> \frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )</math>
 | <math> a > 0 \ </math>
|-
 ! [[Perkalian]]
 | <math>f(t)g(t)</math>
 | <math> \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \ </math>
 | Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal {{nowrap|1=Re(''σ'') = ''c''}} yang terletak di antara luasan konvergen {{math|''F''}}.<ref>{{harvnb|Bracewell|2000|loc=Table 14.1, p. 385}}</ref>
|-
 ! [[Konvolusi]]
 | <math> (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau</math>
 | <math> F(s) \cdot G(s) \ </math>
 | 
|-
 ! [[Konjugasi kompleks]]
 | <math> f^*(t) </math>
 | <math> F^*(s^*) </math>
 |
|-
 ! [[Cross-correlation]]
 | <math> f(t)\star g(t) </math>
 | <math> F^*(-s^*)\cdot G(s) </math>
 |
|-
 ! [[Fungsi periodik]]
 | <math>f(t)</math>
 | <math>{1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt </math>
 | {{math|''f''(''t'')}} adalah fungsi periodik dari periode {{math|''T''}} sehingga {{math|1=''f''(''t'') = ''f''(''t'' + ''T'')}}, untuk semua {{math|''t'' ≥ 0}}. 
|}

== Kutipan ==
{{reflist}}
== Referensi ==

=== Modern ===
* {{Citation |last=Bracewell |first=Ronald N. |title=The Fourier Transform and its Applications |edition=2nd |year=1978 |publisher=McGraw-Hill Kogakusha |isbn=978-0-07-007013-4 }}<!-- This edition is used for pinpoint citations in the transform table. -->
* {{citation|first=R. N.|last=Bracewell|title=The Fourier Transform and Its Applications|edition=3rd|location=Boston|publisher=McGraw-Hill|year=2000|isbn=978-0-07-116043-8}}
* {{Citation | last1=Feller | first1=William | author1-link=William Feller | title=An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Second edition | mr=0270403  | year=1971}}
* {{citation |first1=G. A. |last1=Korn |first2=T. M. |last2=Korn |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers |publisher=McGraw-Hill Companies |edition=2nd |year=1967 |isbn=978-0-07-035370-1 }}
* {{Citation | last1=Widder | first1=David Vernon | title=The Laplace Transform | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Mathematical Series, v. 6 | mr=0005923  | year=1941}}
* {{Citation | last=Williams |first=J. |title=Laplace Transforms |series=Problem Solvers |volume= |publisher=George Allen & Unwin |year=1973 |isbn= 978-0-04-512021-5 }}
* {{Citation | last=Takacs | first= J.|title=Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal | year=1953 | journal=Magyar Hiradastechnika | volume=IV | issue=7–8|pages=93–96 |language=Hungarian }}

=== Klasik ===
<!-- Citations to Opera omnia [The Complete Works] are wrong. Opera omnia was published 1911 and after, so the citations should be |origyear=17xx |year=1992... Handling of Euler's volume number and Opera omnia volume is problematic -->
* {{citation |last=Euler |first=L. |authorlink=Leonhard Euler |year=1744 |title=De constructione aequationum |trans-title=The Construction of Equations |language=la |journal=Opera Omnia |series=1st series |volume=22 |pages=150–161}}
* {{citation |last=Euler |first=L. |authorlink=Leonhard Euler |year=1753 |title=Methodus aequationes differentiales |trans-title=A Method for Solving Differential Equations |language=la |journal=Opera Omnia |series=1st series |volume=22 |pages=181–213}}
* {{citation |last=Euler |first=L. |authorlink=Leonhard Euler |origyear=1769 |title=Institutiones calculi integralis, Volume 2 |trans-title=Institutions of Integral Calculus |language=la |journal=Opera Omnia |series=1st series |volume=12 |year=1992 |location=Basel |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3764314743 <!-- isbn for the entire first series-->}}, Chapters 3–5
* {{citation |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=Leonhard Euler |year=1769 |title=Institutiones calculi integralis |trans-title=Institutions of Integral Calculus |language=la |volume=II <!--Secundum--> |at=ch. 3–5, pp. 57–153 |location=Paris |publisher=Petropoli |url=https://books.google.com/books?id=BFqWNwpfqo8C }}
* {{citation|last=Grattan-Guinness|first=I|authorlink=Ivor Grattan-Guinness|year=1997|contribution=Laplace's integral solutions to partial differential equations|editor=Gillispie, C. C.|title=Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science|location=Princeton|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-01185-1}}
* {{citation|last=Lagrange|first=J. L.|authorlink=Joseph Louis Lagrange|year=1773|title=Mémoire sur l'utilité de la méthode|series=Œuvres de Lagrange|volume=2|pages=171–234}}
== Bacaan lanjutan ==
* {{citation|first1=Wolfgang|last1=Arendt|first2=Charles J.K.|last2=Batty|first3=Matthias|last3=Hieber|first4=Frank|last4=Neubrander|title=Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems|publisher=Birkhäuser Basel|year=2002|isbn=978-3-7643-6549-3 |ref=none}}.
* {{citation|last=Davies|first=Brian|title=Integral transforms and their applications|edition=Third|publisher=Springer|location=New York|year=2002|isbn= 978-0-387-95314-4 |ref=none}}
* {{citation | last=Deakin|first= M. A. B. | year=1981 | title=The development of the Laplace transform | journal=Archive for History of Exact Sciences | volume=25 | pages=343–390 | doi=10.1007/BF01395660 | issue=4 |ref=none}}
* {{citation | last=Deakin|first= M. A. B. | year=1982 | title=The development of the Laplace transform | journal=Archive for History of Exact Sciences | volume=26 | pages=351–381 | doi=10.1007/BF00418754 | issue=4 |ref=none}}
* {{citation |last=Doetsch |first=Gustav |authorlink=Gustav Doetsch |date=1974 |title=Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation |publisher=Springer |isbn=978-0-387-06407-9 |ref=none}}
* Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), ''Mathematical methods of physics'' (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, {{isbn|0-8053-7002-1}}
* {{citation|first1=A. D.|last1=Polyanin|first2=A. V.|last2=Manzhirov|title=Handbook of Integral Equations|publisher=CRC Press|location=Boca Raton|year=1998|isbn=978-0-8493-2876-3 |ref=none}}
* {{Citation | last1=Schwartz | first1=Laurent | author-link=Laurent Schwartz | title=Transformation de Laplace des distributions | mr=0052555  | year=1952 | journal=Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] | volume=1952 | pages=196–206 |language=French |ref=none}}
* {{Citation |last=Schwartz |first=Laurent |author-link=Laurent Schwartz |year=2008 |origyear=1966 |title=Mathematics for the Physical Sciences |publisher=Dover Publications |location=New York |series=Dover Books on Mathematics |pages=215–241 |isbn=978-0-486-46662-0 |url={{Google books|-_AuDQAAQBAJ|Mathematics for the Physical Sciences|page=215|plainurl=yes}} |ref=none}} - See Chapter VI. The Laplace transform.
* {{citation|first=William McC.|last=Siebert|title=Circuits, Signals, and Systems|publisher=MIT Press|location=Cambridge, Massachusetts|year=1986|isbn=978-0-262-19229-3 |ref=none}}
* {{Citation | last1=Widder | first1=David Vernon | title=What is the Laplace transform? | mr=0013447  | year=1945 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | issn=0002-9890 |volume=52 |issue=8 | pages=419–425 | doi=10.2307/2305640 | jstor=2305640 |ref=none}}

== Pranala luar ==
{{commons category|Laplace transformation}}
* {{springer|title=Laplace transform|id=p/l057540}}
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace Online Computation] of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{MathWorld|title=Laplace Transform|urlname=LaplaceTransform}}
* [http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/ Good explanations of the initial and final value theorems]
* [http://www.mathpages.com/home/kmath508/kmath508.htm Laplace Transforms] at MathPages
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform+example Computational Knowledge Engine] allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
* [http://www.laplacetransformcalculator.com/easy-laplace-transform-calculator/ Laplace Calculator] to calculate Laplace Transforms online easily.

{{Authority control}}
{{matematika-stub}}

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Persamaan diferensial]]
[[Kategori:Transformasi integral]]